Conţinut
Odată ce începeți să rezolvați ecuațiile algebrice care implică polinomii, capacitatea de a recunoaște forme speciale, ușor de facturat, ale polinoamelor devine foarte utilă. Unul dintre cele mai utile polinomii „cu factor ușor” de remarcat este pătratul perfect sau trinomul care rezultă din pătratul unui binom. După ce ați identificat un pătrat perfect, factorizarea acestuia în componentele sale individuale este adesea o parte vitală a procesului de rezolvare a problemelor.
Identificarea Trinomialelor Pătrate Perfecte
Înainte de a putea factoriza un trinomial pătrat perfect, trebuie să înveți să-l recunoști. Un pătrat perfect poate lua oricare din două forme:
Câteva exemple de pătrate perfecte pe care le puteți vedea în „lumea reală” a problemelor de matematică includ:
Care este cheia pentru recunoașterea acestor pătrate perfecte?
Verificați primul și al treilea termen al trinomului. Sunt ambele pătrate? Dacă da, descoperiți care sunt pătratele lor. De exemplu, în cel de-al doilea exemplu „lume reală” dat mai sus, y2 - 2_y_ + 1, termenul y2 este evident pătratul de y. Termenul 1 este, poate mai puțin evident, pătratul 1, deoarece 12 = 1.
Înmulțiți împreună rădăcinile primului și al treilea termen. Pentru a continua exemplul, asta este y și 1, ceea ce vă oferă y × 1 = 1_y_ sau pur și simplu y.
În continuare, înmulțiți produsul cu 2. Continuând exemplul, aveți 2_y._
În cele din urmă, comparați rezultatul ultimului pas cu termenul mediu al polinomului. Se potrivesc? În polinom y2 - 2_y_ + 1, o fac. (Semnul nu are relevanță; ar fi și o potrivire dacă termenul de mijloc ar fi + 2_y_.)
Deoarece răspunsul din Pasul 1 a fost „da”, iar rezultatul dvs. din Pasul 2 se potrivește termenului mediu al polinomului, știți că priviți un trinomial pătrat perfect.
Factorizarea unui trinomial Square Square
După ce știi că te uiți la un trinomial pătrat perfect, procesul de factorizare este destul de simplu.
Identificați rădăcinile sau numerele pătrate, în primul și al treilea termen al trinomului. Luați în considerare un alt exemplu al trinomelor dvs. despre care știți deja că este un pătrat perfect, X2 + 8_x_ + 16. Evident, numărul care este pătrat în primul termen este X. Numărul care este pătrat în al treilea termen este de 4, deoarece 42 = 16.
Gândiți-vă înapoi la formulele pentru trinomele pătrate perfecte. Știți că factorii dvs. vor lua fie forma (A + b)(A + b) sau forma (A – b)(A – b), Unde A și b sunt numerele pătrate în primul și al treilea termen. Deci, puteți să vă scrieți factorii astfel, omitând semnele din mijlocul fiecărui termen deocamdată:
(A ? b)(A ? b) = A2 ? 2_ab_ + b2
Pentru a continua exemplul prin înlocuirea rădăcinilor trinomului dvs. actual, aveți:
(X ? 4)(X ? 4) = X2 + 8_x_ + 16
Verificați termenul mediu al trinomului. Are un semn pozitiv sau un semn negativ (sau, mai bine zis, este adăugat sau scăzut)? Dacă are un semn pozitiv (sau se adaugă), ambii factori ai trinomialului au un semn plus la mijloc. Dacă are un semn negativ (sau este scăzut), ambii factori au un semn negativ la mijloc.
Termenul mediu al exemplului curent trinomial este 8_x_ - pozitivul său - așa că acum ați luat în considerare trinomul pătrat perfect:
(X + 4)(X + 4) = X2 + 8_x_ + 16
Verificați-vă munca prin înmulțirea celor doi factori împreună. Aplicarea FOIL sau a primei metode exterioare, interioare, vă oferă:
X2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Simplificarea acestui lucru dă rezultatul X2 + 8_x_ + 16, care se potrivește trinomului tău. Deci factorii sunt corecți.