Cum se calculează viteza unghiulară

Conţinut

• Bazele mișcării
• Ecuația de viteză unghiulară
• Ecuații de mișcare de rotație
• Cantități și expresii conexe
• Viteza unghiulară vs viteza liniară

În discursul cotidian, „viteza” și „viteza” sunt adesea utilizate în mod interschimbabil. În fizică, însă, acești termeni au semnificații specifice și distincte. „Viteza” este viteza de deplasare a unui obiect în spațiu și este dată doar de un număr cu unități specifice (adesea în metri pe secundă sau mile pe oră). Pe de altă parte, viteza este o viteză cuplată la o direcție. Viteza, apoi, este numită cantitate scalară, în timp ce viteza este o cantitate vectorială.

Atunci când o mașină zvâcneste de-a lungul unei autostrăzi sau un balon de basebit trece prin aer, viteza acestor obiecte este măsurată în raport cu pământul, în timp ce viteza încorporează mai multe informații. De exemplu, dacă sunteți într-o mașină care călătorește la 70 de mile pe oră pe Interstate 95 pe coasta de est a Statelor Unite, este de asemenea util să știți dacă este îndreptat spre nord-est spre Boston sau spre sud spre Florida. Cu baseball-ul, s-ar putea să doriți să știți dacă coordonata ei y se schimbă mai rapid decât coordonata X (o minge de zbor) sau dacă reversul este adevărat (o unitate de linie). Dar ce se întâmplă cu rotirea anvelopelor sau rotirea (rotirea) baseball-ului pe măsură ce mașina și mingea se îndreaptă spre destinația lor finală? Pentru aceste tipuri de întrebări, fizica oferă conceptul de viteză unghiulară.

Bazele mișcării

Lucrurile se deplasează prin spațiul fizic tridimensional în două moduri principale: traducere și rotație. Traducerea este deplasarea întregului obiect dintr-o locație în alta, precum o mașină care conduce de la New York la Los Angeles. Pe de altă parte, rotația este mișcarea ciclică a unui obiect în jurul unui punct fix. Multe obiecte, cum ar fi baseball-ul din exemplul de mai sus, prezintă ambele tipuri de mișcare în același timp; pe măsură ce o minge de muscă se deplasa prin aer de pe placa de acasă spre gardul din exterior, ea se învârte, de asemenea, cu o rată dată în jurul propriului centru.

Descrierea acestor două tipuri de mișcare sunt tratate ca probleme de fizică separate; adică, atunci când calculați distanța pe care o parcurge mingea prin aer, pe baza unor lucruri precum unghiul său inițial de lansare și viteza cu care iese din liliac, puteți ignora rotația sa, iar atunci când calculați rotația sa, o puteți trata ca fiind așezată într-una loc în scopuri prezente.

Ecuația de viteză unghiulară

În primul rând, când vorbești despre ceva „unghiular”, fie că este vorba despre viteză sau despre o altă cantitate fizică, recunoașteți că, deoarece aveți de-a face cu unghiuri, vorbiți despre călătorii în cercuri sau porțiuni ale acestora. Puteți să vă amintiți din geometrie sau trigonometrie că circumferința unui cerc este diametrul său de ori pi constantă sau πd. (Valoarea pi este de aproximativ 3.14159.) Aceasta este exprimată mai des în termeni de raza cercurilor r, care este jumătate din diametru, ceea ce face circumferința 2πr.

În plus, ați învățat probabil undeva pe parcursul că un cerc este format din 360 de grade (360 °). Dacă deplasați o distanță S de-a lungul unui cerc, decât deplasarea unghiulară equal este egală cu S / r. Apoi, o revoluție deplină dă 2πr / r, care doar 2π. Asta înseamnă unghiuri mai mici de 360 ​​° pot fi exprimate în termeni de pi, sau cu alte cuvinte, ca radiani.

Luând toate aceste informații împreună, puteți exprima unghiuri sau porțiuni ale unui cerc, în alte unități decât grade:

360 ° = (2π) radiani sau

1 radian = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

În timp ce viteza liniară este exprimată în lungime pe unitate de timp, viteza unghiulară este măsurată în radiieni pe unitatea de timp, de obicei pe secundă.

Dacă știți că o particulă se mișcă pe o cale circulară cu viteză v de la distanță r din centrul cercului, cu direcția din v fiind întotdeauna perpendicular pe raza cercului, atunci se poate scrie viteza unghiulară

ω = v / r,

Unde ω este litera greacă omega. Unitățile de viteză unghiulară sunt radiani pe secundă; puteți, de asemenea, să tratați această unitate ca „secunde reciproce”, deoarece v / r produce m / s împărțit la m sau s^-1, ceea ce înseamnă că radianii sunt din punct de vedere tehnic o cantitate fără unitate.

Ecuații de mișcare de rotație

Formula de accelerație unghiulară este obținută în același mod esențial ca și formula de viteză unghiulară: este doar accelerația liniară într-o direcție perpendiculară pe o rază a cercului (echivalent, accelerația sa de-a lungul unei tangente la calea circulară în orice punct) divizată după raza cercului sau a porțiunii unui cerc, care este:

α = a_T/ r

Acest lucru este dat și de:

α = ω / t

deoarece pentru mișcare circulară, a_T = ωr / t = v / t.

α, după cum probabil știți, este litera greacă „alfa”. Abonamentul „t” indică „tangență”.

Totuși, destul de curios, mișcarea de rotație se mândrește cu un alt fel de accelerație, numită accelerație centripetă („care caută centru”). Aceasta este dată de expresia:

A_c = v²/ r

Această accelerație este îndreptată spre punctul în care se rotește obiectul în cauză. Acest lucru poate părea ciudat, deoarece obiectul nu se apropie mai mult de acest punct central de la rază r e reparat. Gândiți-vă la accelerația centripetă ca la o cădere liberă în care nu există niciun pericol ca obiectul să lovească pământul, deoarece forța care atrage obiectul spre ea (de obicei gravitația) este exact compensată de accelerația tangențială (liniară) descrisă de prima ecuație din aceasta sectiune. Dacă A_c nu erau egale cu A_T, obiectul ar zbura în spațiu sau în curând s-ar prăbuși în mijlocul cercului.

Cantități și expresii conexe

Deși viteza unghiulară este de obicei exprimată, după cum s-a menționat, în radiani pe secundă, pot exista cazuri în care este de preferat sau necesar să se utilizeze grade pe secundă în schimb, sau invers, pentru a converti de la grade la radieni înainte de a rezolva o problemă.

Spuneți că vi s-a spus că o sursă de lumină se rotește cu 90 ° în fiecare secundă la o viteză constantă. Care este viteza sa unghiulară la radieni?

Mai întâi, nu uitați că 2π radian = 360 ° și setați o proporție:

360 / 2π = 90 / x

360x = 180π

x = ω = π / 2

Răspunsul este de o jumătate de pi radian pe secundă.

Dacă vi s-ar fi spus în continuare că raza de lumină are o rază de acțiune de 10 metri, care ar fi vârful vitezei liniare a grinzilor v, accelerația sa unghiulară α și accelerația sa centripetă A_c?

Pentru a rezolva pt v, de sus, v = ωr, unde ω = π / 2 și r = 10m:

(π / 2) (10) = 5π rad / s = 15,7 m / s

Pentru a rezolva pt α, pur și simplu adăugați o altă unitate de timp la numitor:

α = 5π rad / s²

(Rețineți că aceasta funcționează numai pentru problemele în care viteza unghiulară este constantă.)

În cele din urmă, tot de sus, a_c = v²/ r = (15,7)²/ 10 = 24,65 m / s².

Viteza unghiulară vs viteza liniară

Bazându-vă pe problema anterioară, imaginați-vă pe voi într-o întindere foarte mare, una cu o rază improbabilă de 10 kilometri (10.000 de metri). Această rundă veselă face o revoluție completă la fiecare minut și 40 de secunde sau la fiecare 100 de secunde.

O consecință a diferenței dintre viteza unghiulară, care este independentă de distanța față de axa de rotație, și viteza circulară liniară, care nu este, este că două persoane se confruntă cu aceeași ω poate suferi experiențe fizice mult diferite. Dacă se întâmplă să vă aflați la 1 metru de centru dacă această mulțumire putativă, masivă, viteza dvs. liniară (tangențială) este:

ωr = (2π rad / 100 s) (1 m) = 0,0628 m / s, sau 6,29 cm (mai puțin de 3 inci) pe secundă.

Dar dacă ești pe marginea acestui monstru, viteza liniară este:

ωr = (2π rad / 100 s) (10.000 m) = 628 m / s. Adică aproximativ 1.406 de mile pe oră, mai repede decât un glonț. Rezistă!