Cum să factorăm polinomii cu fracții

Conţinut

• Polinomii cu fracții definite
• Bazele factorării - Proprietate distributivă și metoda FOIL
• Pași de făcut atunci când fac factorii de fracțiuni polinomiale
• Evaluarea ecuațiilor prin descompunerea fracției parțiale
• Simplificați Denumitorul
• Rearanjați numerotatorul

Cea mai bună modalitate de a factoriza polinoamele cu fracții începe prin reducerea fracțiilor la termeni mai simpli. Polinoamele reprezintă expresii algebice cu doi sau mai mulți termeni, mai precis, suma mai multor termeni care au expresii diferite ale aceleiași variabile. Strategiile care ajută la simplificarea polinoamelor implică factorizarea celui mai mare factor comun, urmată de gruparea ecuației în termenii cei mai mici. Același lucru este valabil chiar și atunci când se rezolvă polinomii cu fracții.

Polinomii cu fracții definite

Aveți trei moduri în care puteți vizualiza sintagmele polinomiale cu fracții. Prima interpretare se referă la polinoame cu fracții pentru coeficienți. În algebră, coeficientul este definit drept cantitatea de număr sau constanta găsită înaintea unei variabile. Cu alte cuvinte, coeficienții pentru 7a, b și (1/3) c sunt 7, 1 și, respectiv, (1/3). Prin urmare, două exemple de polinomii cu coeficienți de fracție ar fi:

(1/4) x² + 6x + 20 precum și x² + (3/4) x + (1/8).

A doua interpretare a „polinoamelor cu fracții” se referă la polinoame existente în formă de fracție sau de raport cu un numărător și un numitor, unde polinomul numărător este împărțit la polinomul numitorului. De exemplu, această a doua interpretare este ilustrată de:

(X² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

A treia interpretare, între timp, se referă la descompunerea fracției parțiale, cunoscută și sub denumirea de expansiune parțială a fracției. Uneori fracțiile polinomiale sunt complexe, astfel încât atunci când sunt „descompuse” sau „defalcate” în termeni mai simpli, ele sunt prezentate ca sume, diferențe, produse sau cotițe ale fracțiilor polinomiale. Pentru a ilustra, fracția polinomială complexă a (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) este evaluat prin descompunerea fracției parțiale, care, întâmplător, implică factorizarea polinoamelor, pentru a fi + în cea mai simplă formă.

Bazele factorării - Proprietate distributivă și metoda FOIL

Factorii reprezintă două numere care atunci când sunt înmulțite împreună egal cu un al treilea număr. În ecuațiile algebice, factoringul determină ce două cantități au fost înmulțite împreună pentru a ajunge la un polinom dat. Proprietatea distributivă este puternic urmată la înmulțirea polinoamelor. Proprietatea distributivă permite, în esență, să înmulțiți o sumă înmulțind fiecare număr individual înainte de a adăuga produsele. Observați, de exemplu, cum se aplică proprietatea distributivă în exemplul de:

7 (10x + 5) pentru a ajunge la binomul 70x + 35.

Dar, dacă două binomuri sunt înmulțite împreună, atunci o versiune extinsă a proprietății distributive este utilizată prin metoda FOIL. FOIL reprezintă acronimul pentru înmulțirea termenilor First, Exterior, Interior și Last. Prin urmare, polinoamele de factorizare implică efectuarea înapoi a metodei FOIL. Luați cele două exemple menționate mai sus cu polinoamele care conțin coeficienți de fracțiune. Efectuarea înapoi a metodei FOIL pe fiecare dintre ele are drept rezultat:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) pentru primul polinom și factorii de:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) pentru al doilea polinom.

Exemplu: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Exemplu: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Pași de făcut atunci când fac factorii de fracțiuni polinomiale

Din mai sus, fracțiile polinomiale implică un polinom în numărător împărțit de un polinom în numitor. Evaluarea fracțiilor polinomiale necesită, așadar, factorizarea polinomului numărător, urmată mai întâi de factorizarea polinomului numitorului. Ajută la găsirea celui mai mare factor comun, sau GCF, între numărător și numitor. Odată găsit GCF atât al numărătorului, cât și al numitorului, acesta anulează, reducând în final întreaga ecuație în termeni simplificați. Luați în considerare exemplul de fracție polinomială originală de mai sus

(X² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Factorizarea polinoamelor numărătorului și numitorului pentru a găsi GCF are ca rezultat:

÷, cu GCF-ul (x + 2).

GCF atât în ​​numărător, cât și în numitor se anulează reciproc pentru a oferi răspunsul final în termenii cei mai mici de (x + 5) ÷ (x + 9).

Exemplu:

X² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

X²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Evaluarea ecuațiilor prin descompunerea fracției parțiale

Descompunerea fracției parțiale, care implică factoring, este o modalitate de a rescrie ecuațiile complexe ale fracțiilor polinomiale într-o formă mai simplă. Revizuind exemplul de mai sus

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Simplificați Denumitorul

Simplificați numitorul pentru a obține: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

X² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Rearanjați numerotatorul

Apoi, rearanjați numărătorul astfel încât acesta să înceapă să aibă GCF-urile prezente în numitor, pentru a obține:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, care este extins în continuare la {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Pentru suplimentul din stânga, GCF este (x - 1), în timp ce pentru addendul drept, GCF este (x + 2), care se anulează în numărător și numitor, așa cum se vede în {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Astfel, atunci când GCFs anulează, răspunsul final simplificat este +:

3 5

__ + __ ca soluție a descompunerii fracției parțiale.

x + 2 x - 1