Conţinut
- Derivatul ca pantă
- Derivatul unei funcții de putere
- Derivat dintr-o serie de putere
- Derivate din tabele
Una dintre operațiunile importante pe care le faceți în calcul este găsirea instrumentelor derivate. Derivarea unei funcții se mai numește viteza de modificare a funcției respective. De exemplu, dacă x (t) este poziția unei mașini în orice moment t, atunci derivata lui x, care este scrisă dx / dt, este viteza mașinii. De asemenea, derivatul poate fi vizualizat ca panta unei linii tangente la graficul unei funcții. La nivel teoretic, acesta este modul în care matematicienii găsesc derivați. În practică, matematicienii folosesc seturi de reguli de bază și tabele de căutare.
Derivatul ca pantă
Panta unei linii între două puncte este creșterea, sau diferența în valorile y împărțită la rulare sau diferența în valorile x. Panta unei funcții y (x) pentru o anumită valoare a lui x este definită a fi panta unei linii care este tangentă cu funcția din punct. Pentru a calcula panta construiți o linie între punct și un punct din apropiere, unde h este un număr foarte mic. Pentru această linie, rularea sau modificarea valorii x este h, iar creșterea sau modificarea valorii y este y (x + h) - y (x). În consecință, panta lui y (x) în punctul este aproximativ egală cu / = / h. Pentru a obține exact panta, calculați valoarea pantei pe măsură ce h devine din ce în ce mai mică, până la „limita” unde se ajunge la zero. Panta calculată în acest fel este derivata lui y (x), care este scrisă ca y ”(x) sau dy / dx.
Derivatul unei funcții de putere
Puteți utiliza metoda pantă / limită pentru a calcula derivatele funcțiilor în care y este egal cu x la puterea lui, sau y (x) = x ^ a. De exemplu, dacă y este egal cu x cubed, y (x) = x ^ 3, atunci dy / dx este limita, deoarece h merge la zero de / h. Extinderea (x + h) ^ 3 dă / h, care se reduce la 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 după ce te împarți cu h. În limita ca h merge la zero, toți termenii care au h în ei merg de asemenea la zero. Deci, y ”(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Puteți face acest lucru pentru alte valori decât 3 și, în general, puteți arăta că d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Derivat dintr-o serie de putere
Multe funcții pot fi scrise ca ceea ce se numește o serie de putere, care sunt suma unui număr infinit de termeni, unde fiecare are forma C (n) x ^ n, unde x este o variabilă, n este un număr întreg și C ( n) este un număr specific pentru fiecare valoare a lui n. De exemplu, seria de putere pentru funcția sinusoidală este Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., unde „...” înseamnă termeni care continuă pe catre infinit. Dacă știți seria de putere pentru o funcție, puteți utiliza derivata puterii x ^ n pentru a calcula derivata funcției. De exemplu, derivatul Sin (x) este egal cu 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., care se întâmplă să fie seria de putere pentru Cos (x).
Derivate din tabele
Derivatele funcțiilor de bază, cum ar fi puterile precum x ^ a, funcțiile exponențiale, funcțiile de jurnal și funcțiile trig, se găsesc folosind metoda pantă / limită, metoda seriei de putere sau alte metode. Aceste derivate sunt apoi listate în tabele. De exemplu, puteți căuta că derivatul Sin (x) este Cos (x). Când funcțiile complexe sunt combinații ale funcțiilor de bază, aveți nevoie de reguli speciale, cum ar fi regula lanțului și regula produsului, care sunt prezentate și în tabele. De exemplu, utilizați regula lanțului pentru a afla că derivatul Sin (x ^ 2) este 2xCos (x ^ 2). Utilizați regula produsului pentru a afla că derivatul lui xSin (x) este xCos (x) + Sin (x). Folosind tabele și reguli simple, puteți găsi derivatele oricărei funcții. Dar când o funcție este extrem de complexă, oamenii de știință recurg uneori la programe de calculator pentru ajutor.