Conţinut
- De ce sunt importante funcțiile exponențiale
- De la o pereche de puncte la un grafic
- Un punct pe axa X
- Nici un punct pe axa X
- Un exemplu din lumea reală
Dacă cunoașteți două puncte care se încadrează pe o anumită curbă exponențială, puteți defini curba soluționând funcția exponențială generală folosind aceste puncte. În practică, aceasta înseamnă substituirea punctelor pentru y și x în ecuația y = abX. Procedura este mai ușoară dacă valoarea x pentru unul dintre puncte este 0, ceea ce înseamnă că punctul este pe axa y. Dacă niciun punct nu are o valoare x zero, procesul de rezolvare pentru x și y este mult mai complicat.
De ce sunt importante funcțiile exponențiale
Multe sisteme importante urmează modele exponențiale de creștere și descompunere. De exemplu, numărul de bacterii dintr-o colonie crește de obicei exponențial, iar radiația ambientală în atmosferă în urma unui eveniment nuclear scade de obicei exponențial. Luând date și reprezentând o curbă, oamenii de știință sunt într-o poziție mai bună pentru a face predicții.
De la o pereche de puncte la un grafic
Orice punct al unui grafic bidimensional poate fi reprezentat prin două numere, care sunt de obicei scrise sub forma (x, y), unde x definește distanța orizontală față de origine și y reprezintă distanța verticală. De exemplu, punctul (2, 3) este de două unități din dreapta axei y și trei unități deasupra axei x. Pe de altă parte, punctul (-2, -3) este la două unități din stânga axei y. și trei unități sub axa x.
Dacă aveți două puncte, (x1, da1) și (x2, da2), puteți defini funcția exponențială care trece prin aceste puncte substituindu-le în ecuația y = abX și rezolvarea pentru a și b. În general, trebuie să rezolvați această pereche de ecuații:
y1 = abx1 și y2 = abx2, .
În această formă, matematica pare puțin complicată, dar arată mai puțin după ce ai făcut câteva exemple.
Un punct pe axa X
Dacă una dintre valorile x - spuneți x1 - este 0, operația devine foarte simplă. De exemplu, rezolvarea ecuației pentru punctele (0, 2) și (2, 4) produce:
2 = ab0 și 4 = ab2. De vreme ce știm că b0 = 1, prima ecuație devine 2 = a. Înlocuind a în ecuația a doua se obține 4 = 2b2, pe care o simplificăm la b2 = 2, sau b = rădăcina pătrată a 2, care este egală cu aproximativ 1,41. Funcția definitorie este atunci y = 2 (1,41)X.
Nici un punct pe axa X
Dacă nici valoarea x nu este zero, rezolvarea perechii de ecuații este puțin mai greoaie. Henochmath ne parcurge printr-un exemplu ușor pentru a clarifica această procedură. În exemplul său, el a ales perechea de puncte (2, 3) și (4, 27). Aceasta produce următoarea pereche de ecuații:
27 = ab4
3 = ab2
Dacă împarte prima ecuație la a doua, obții
9 = b2
deci b = 3. Este posibil ca b să fie egal cu -3, dar, în acest caz, să-și asume pozitivul.
Puteți substitui această valoare cu b în oricare ecuație pentru a obține a. Este mai ușor de utilizat a doua ecuație, deci:
3 = a (3)2 care poate fi simplificat la 3 = a9, a = 3/9 sau 1/3.
Ecuația care trece prin aceste puncte poate fi scrisă ca y = 1/3 (3)X.
Un exemplu din lumea reală
Din 1910, creșterea populației umane a fost exponențială, iar prin trasarea unei curbe de creștere, oamenii de știință sunt într-o poziție mai bună pentru a prezice și planifica viitorul. În 1910, populația mondială era de 1,75 miliarde, iar în 2010, 6,87 miliarde. Luând 1910 ca punct de plecare, aceasta dă perechea de puncte (0, 1,75) și (100, 6,87). Deoarece valoarea x a primului punct este zero, putem găsi cu ușurință a.
1,75 = ab0 sau a = 1,75. Conectarea acestei valori, împreună cu cele din al doilea punct, în ecuația exponențială generală produce 6,87 = 1,75b100, care dă valoarea lui b ca rădăcină a suta din 6,87 / 1,75 sau 3,93. Deci ecuația devine y = 1,75 (a șasea rădăcină de 3,93)X. Deși este nevoie de mai mult decât o regulă de diapozitive pentru a o face, oamenii de știință pot utiliza această ecuație pentru a proiecta viitoarele populații pentru a ajuta politicienii din prezent să creeze politici adecvate.