Conţinut
- Integrarea funcțiilor de bază ale rădăcinii pătrate
- Integrarea funcțiilor mai complexe de rădăcină pătrată
Integrarea funcțiilor este una dintre aplicațiile de bază ale calculului. Uneori, acest lucru este simplu, ca în:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
Într-un exemplu relativ complicat de acest tip, puteți utiliza o versiune a formulei de bază pentru integrarea integralelor nedeterminate:
∫ (xn + A) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
unde A și C sunt constante.
Astfel, pentru acest exemplu,
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C.
Integrarea funcțiilor de bază ale rădăcinii pătrate
La suprafață, integrarea unei funcții de rădăcină pătrată este incomodă. De exemplu, puteți fi încurajat de:
F (x) = ∫ √dx
Dar puteți exprima o rădăcină pătrată ca exponent, 1/2:
√ x3 = x3(1/2) = x(3/2)
Integrala devine prin urmare:
∫ (x3/2 + 2x - 7) dx
la care puteți aplica formula obișnuită de mai sus:
= x(5/2)/ (5/2) + 2 (x2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
Integrarea funcțiilor mai complexe de rădăcină pătrată
Uneori, este posibil să aveți mai mult de un termen sub semnul radical, ca în acest exemplu:
F (x) = ∫ dx
Puteți utiliza u-substituția pentru a continua. Aici, setați u egal cu cantitatea din numitor:
u = √ (x - 3)
Rezolvați acest lucru pentru x, pătrat pe ambele părți și scăzând:
u2 = x - 3
x = u2 + 3
Acest lucru vă permite să obțineți dx în termeni de u, luând derivata lui x:
dx = (2u) du
Înlocuirea din nou în integralitatea inițială dă
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) du
Acum puteți integra acest lucru folosind formula de bază și exprimând u în termeni de x:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + C