Conţinut
- Definiția inegalității valorii absolute
- Cum să rezolvi o inegalitate valorică absolută
- Valori absolute inegalități fără nicio soluție
- Notarea intervalului
Rezolvarea inegalităților de valoare absolută este similară cu rezolvarea ecuațiilor absolute de valoare, dar există câteva detalii suplimentare de care trebuie să ții cont. Vă ajută să fiți deja confortabil rezolvând ecuații de valoare absolută, dar este în regulă dacă le învățați împreună!
Definiția inegalității valorii absolute
În primul rând, un inegalitate valorică absolută este o inegalitate care implică o expresie absolută a valorii. De exemplu,
| 5 + X | - 10> 6 este o inegalitate de valoare absolută, deoarece are un semn de inegalitate,> și o expresie de valoare absolută, | 5 + X |.
Cum să rezolvi o inegalitate valorică absolută
pași pentru soluționarea unei inegalități absolute a valorii sunt la fel ca pașii pentru rezolvarea unei ecuații absolute a valorii:
Pasul 1: Izolați expresia valorii absolute de o parte a inegalității.
Pasul 2: Rezolvați „versiunea” pozitivă a inegalității.
Pasul 3: Rezolvați „versiunea” negativă a inegalității prin înmulțirea cantității de pe cealaltă parte a inegalității cu −1 și prin semnul inegalității.
Este foarte mult să luați totul în același timp, așa că heres un exemplu care vă va parcurge pașii.
Rezolva inegalitatea pentru X: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Pentru a face acest lucru, obțineți | 5 + 5_x_ | de la sine în partea stângă a inegalității. Nu trebuie decât să adăugați 3 pe fiecare parte:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Acum există două „versiuni” ale inegalității pe care trebuie să le rezolvăm: „versiunea” pozitivă și „versiunea” negativă.
Pentru acest pas, presupunem că lucrurile stau așa cum apar: acel 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Aceasta este o simplă inegalitate; trebuie doar să rezolvi pentru X ca de obicei. Se scade 5 din ambele părți, apoi se împarte ambele părți cu 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (scade cinci din ambele părți)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (împărțiți ambele părți cu cinci)
X > 0.
Nu-i rău! Așadar, o posibilă soluție a inegalității noastre este aceea X > 0. Acum, deoarece există valori absolute implicate, timpul său ia în considerare o altă posibilitate.
Pentru a înțelege acest bit următor, vă ajută să vă amintiți ce înseamnă valoarea absolută. Valoare absolută măsoară o distanță de numere de la zero. Distanța este întotdeauna pozitivă, deci 9 sunt nouă unități distanță de zero, dar −9 este, de asemenea, nouă unități distanță de zero.
Deci | 9 | = 9, dar | −9 | = 9 de asemenea.
Acum revenim la problema de mai sus. Lucrarea de mai sus a arătat că | 5 + 5_x_ | > 5; cu alte cuvinte, valoarea absolută a „ceva” este mai mare decât cinci. Acum, orice număr pozitiv mai mare de cinci va fi mai departe de zero decât cinci. Așadar, prima opțiune a fost aceea că „ceva”, 5 + 5_x_, este mai mare decât 5.
Adică: 5 + 5_x_> 5.
Acesta este scenariul abordat mai sus, la pasul 2.
Acum gândiți-vă puțin mai departe. Ce altceva este la cinci unități distanță de zero? Ei bine, cinci sunt negative. Și orice în continuare de-a lungul liniei numerice de la cele cinci negative va fi și mai departe de zero. Deci „ceva” nostru ar putea fi un număr negativ care este mai departe de zero decât cinci negative. Asta înseamnă că ar fi un număr cu sunete mai mari, dar din punct de vedere tehnic mai puțin decât cinci negative, deoarece se deplasează în direcția negativă pe linia numerică.
Deci „ceva” nostru, 5 + 5x, ar putea fi mai mic de −5.
5 + 5_x_ <−5
Modul rapid de a face acest lucru în mod algebric este de a înmulți cantitatea de cealaltă parte a inegalității, 5, cu una negativă, apoi să întoarceți semnul inegalității:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Apoi rezolvați ca de obicei.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (scade 5 din ambele părți)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
X < −2.
Deci, cele două soluții posibile pentru inegalitate sunt X > 0 sau X <−2. Verificați-vă conectând câteva soluții posibile pentru a vă asigura că inegalitatea este încă valabilă.
Valori absolute inegalități fără nicio soluție
Există un scenariu în care ar exista nu există soluții pentru o inegalitate valorică absolută. Deoarece valorile absolute sunt întotdeauna pozitive, acestea nu pot fi egale cu sau mai mici decât numere negative.
Deci | X | <−2 are Nici o soluție deoarece rezultatul unei expresii de valoare absolută trebuie să fie pozitiv.
Notarea intervalului
Pentru a scrie soluția principalului nostru exemplu în notarea intervalului, gândiți-vă cum arată soluția pe linia numerică. Soluția noastră a fost X > 0 sau X <−2. Pe o linie numerică, acesta este un punct deschis la 0, cu o linie care se extinde până la infinit pozitiv și un punct deschis la −2, cu o linie care se extinde până la infinit negativ. Aceste soluții se îndreaptă una de cealaltă, nu una față de cealaltă, așa că luați fiecare piesă separat.
Pentru x> 0 pe o linie numerică, există un punct deschis la zero și apoi o linie care se extinde până la infinit. În nota de interval, un punct deschis este ilustrat cu paranteze, (), iar un punct închis, sau inegalități cu ≥ sau ≤, ar folosi paranteze,. Prin urmare X > 0, scrie (0, ∞).
Cealalta jumatate, X <−2, pe o linie numerică este un punct deschis la −2 și apoi o săgeată care se extinde până la ∞. În notație de interval, asta (−∞, −2).
„Sau” în nota de interval este semnul unirii, ∪.
Deci, soluția în notare de interval este (∞∞, −2) ∪ (0, ∞).