Conţinut
- TL; DR (Prea lung; nu a citit)
- Ce este un număr complex?
- Reguli de bază pentru algebră cu numere complexe
- Împărțirea numerelor complexe
- Simplificarea numerelor complexe
Algebra implică adesea simplificarea expresiilor, dar unele expresii sunt mai confuze pentru a face față decât altele. Numerele complexe implică cantitatea cunoscută sub numele de eu, un număr „imaginar” cu proprietatea eu = √ − 1. Dacă trebuie să pur și simplu o expresie care implică un număr complex, poate părea descurajant, dar este un proces destul de simplu odată ce înveți regulile de bază.
TL; DR (Prea lung; nu a citit)
Simplificați numerele complexe urmând regulile algebrei cu numere complexe.
Ce este un număr complex?
Numerele complexe sunt definite prin includerea acestora eu termen, care este rădăcina pătrată de minus unu. În matematică la nivel de bază, rădăcinile pătrate ale numerelor negative nu există cu adevărat, dar ocazional apar în probleme de algebră. Forma generală pentru un număr complex arată structura lor:
z = A + bi
Unde z etichetează numărul complex, A reprezintă orice număr (numit partea „reală”) și b reprezintă un alt număr (numit „imaginar”), ambele putând fi pozitive sau negative. Deci, un exemplu de număr complex este:
z = 2 −4_i_
Deoarece toate rădăcinile pătrate ale numerelor negative pot fi reprezentate de multipli de eu, acesta este formularul pentru toate numerele complexe. Tehnic, un număr obișnuit descrie doar un caz special al unui număr complex în care b = 0, deci toate numerele pot fi considerate complexe.
Reguli de bază pentru algebră cu numere complexe
Pentru a adăuga și scăpa numere complexe, pur și simplu adăugați sau scăpați părțile reale și imaginare separat. Deci pentru numere complexe z = 2 - 4_i_ și w = 3 + 5_i_, suma este:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)eu
= 5 + 1_i_ = 5 + eu
Scăzând numerele funcționează în același mod:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)eu
= −1 - 9_i_
Înmulțirea este o altă operație simplă cu numere complexe, deoarece funcționează ca înmulțirea obișnuită, cu excepția faptului că trebuie să vă amintiți asta eu2 = −1. Deci, pentru a calcula 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Dar de atunci eu2= −1, apoi:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Cu numere complete complexe (folosind z = 2 - 4_i_ și w = 3 + 5_i_ din nou), le înmulțiți în același mod pe care l-ați face cu numere obișnuite ca (A + b) (c + d), folosind metoda „primul, interior, exterior, ultimul” (FOIL), pentru a da (A + b) (c + d) = AC + bc + anunț + bd. Tot ce trebuie să vă amintiți este să simplificați orice caz eu2. Deci, de exemplu:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Împărțirea numerelor complexe
Împărțirea numerelor complexe implică înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu conjugatul complex al numitorului. Conjugatul complex înseamnă doar versiunea numărului complex cu partea imaginară inversată în semn. Prin urmare z = 2 - 4_i_, conjugatul complex z = 2 + 4_i_, și pentru w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Pentru problema:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Conjugatul necesar este w*. Împărțiți numerotatorul și numitorul astfel:
z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
Și apoi lucrați ca în secțiunea anterioară. Numerotatorul oferă:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
Și numitorul dă:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
Asta înseamnă:
z / w = (−14 - 22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Simplificarea numerelor complexe
Utilizați regulile de mai sus, după cum este necesar, pentru a simplifica expresiile complexe. De exemplu:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - eu)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ eu))
Aceasta poate fi simplificată folosind regula de adăugare în numărător, regula de multiplicare în numitor și apoi completarea diviziei. Pentru numărător:
(4 + 2_i_) + (2 - eu) = 6 + eu
Pentru numitor:
(2 + 2_i _) (2+ eu) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Refacerea acestor poziții dă:
z = (6 + eu) / (2 + 6_i_)
Înmulțirea ambelor părți cu conjugatul numitorului duce la:
z = (6 + eu) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Deci asta înseamnă z simplifică astfel:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - eu)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ eu)) = 9/20 −17_i_ / 20