Cum să găsești rădăcinile unui polinom

Conţinut

• Câte rădăcini?
• Avertizări
• Găsiți rădăcini prin factoring: Exemplul 1
• Găsiți rădăcini prin factorizare: Exemplul 2
• Găsiți rădăcini prin grafică

Rădăcinile unui polinom se mai numesc zero, deoarece rădăcinile sunt X valori la care funcția este egală cu zero. Când vine vorba de a găsi efectiv rădăcinile, aveți la dispoziție mai multe tehnici; factoring este metoda pe care o veți utiliza cel mai des, deși graficul poate fi util și.

Câte rădăcini?

Examinați termenul cu cel mai înalt grad al polinomului - adică termenul cu cel mai mare exponent. Exponentul respectiv este cât de multe rădăcini va avea polinomul. Deci, dacă cel mai mare exponent al polinomului dvs. este 2, acesta va avea două rădăcini; dacă cel mai mare exponent este 3, acesta va avea trei rădăcini; si asa mai departe.

Avertizări

Găsiți rădăcini prin factoring: Exemplul 1

Cel mai versatil mod de a găsi rădăcini este factorizarea cât mai mult posibil a polinomului dvs., apoi setarea fiecărui termen egal cu zero. Acest lucru are mult mai mult sens odată ce ați urmat prin câteva exemple. Luați în considerare polinomul simplu X² - 4_x: _

O scurtă examinare arată că puteți factoriza X din ambii termeni ai polinomului, ceea ce vă oferă:

X(X – 4)

Setați fiecare termen la zero. Asta înseamnă rezolvarea a două ecuații:

X = 0 este primul termen stabilit la zero și

X - 4 = 0 este al doilea termen setat la zero.

Aveți deja soluția la primul termen. Dacă X = 0, atunci întreaga expresie este egală cu zero. Asa de X = 0 este una dintre rădăcinile, sau zero, ale polinomului.

Acum, ia în considerare al doilea termen și rezolvă X. Dacă adăugați 4 pe ambele părți, veți avea:

X - 4 + 4 = 0 + 4, care se simplifică pentru:

X = 4. Deci dacă X = 4 atunci al doilea factor este egal cu zero, ceea ce înseamnă că întreg polinomul este egal cu zero.

Deoarece polinomul inițial a fost de gradul doi (cel mai mare exponent a fost doi), știți că există doar două rădăcini posibile pentru acest polinom. Le-ați găsit deja pe amândouă, așa că nu trebuie decât să le enumerați:

X = 0, X = 4

Găsiți rădăcini prin factorizare: Exemplul 2

Iată încă un exemplu despre cum să găsești rădăcini prin factoring, folosind o algebră fantezistă pe parcurs. Luați în considerare polinomul X⁴ - 16. O privire rapidă asupra exponenților săi arată că ar trebui să existe patru rădăcini pentru acest polinom; acum este timpul să le găsim.

Ați observat că acest polinom poate fi rescris ca diferență de pătrate? Deci în loc de X⁴ - 16, aveți:

(X²)² – 4²

Care, folosind formula pentru diferența pătratelor, determină următoarele:

(X² – 4)(X² + 4)

Primul termen este, din nou, o diferență de pătrate. Așadar, deși nu mai puteți factoriza termenul din dreapta, puteți factoriza termenul din stânga încă un pas:

(X – 2)(X + 2)(X² + 4)

Acum este timpul să găsească zero. Devine repede clar că dacă X = 2, primul factor va fi egal cu zero, și astfel întreaga expresie va fi egală cu zero.

În mod similar, dacă X = -2, al doilea factor va fi egal cu zero și, astfel, întreaga expresie.

Asa de X = 2 și X = -2 sunt ambele zero, sau rădăcini, ale acestui polinom.

Dar despre ultimul termen? Deoarece are un exponent „2”, ar trebui să aibă două rădăcini. Dar nu poți factoriza această expresie folosind numerele reale cu care ai fost obișnuit. Trebuie să folosiți un concept matematic foarte avansat numit imagini sau, dacă doriți, numere complexe. Asta depășește cu mult practica matematică actuală, așa că deocamdată este suficient să rețineți că aveți două rădăcini reale (2 și -2) și două rădăcini imaginare pe care le veți lăsa nedefinite.

Găsiți rădăcini prin grafică

De asemenea, puteți găsi, sau cel puțin estima, rădăcini prin grafic. Fiecare rădăcină reprezintă un loc în care graficul funcției traversează X axă. Așadar, dacă creați linia și apoi notați X coordonate unde linia traversează X axă, puteți introduce estimarea X valorile acelor puncte în ecuația dvs. și verificați dacă le-ați corectat.

Luați în considerare primul exemplu pe care l-ați lucrat, pentru polinom X² - 4_x_. Dacă o trageți cu atenție, veți vedea că linia traversează X axa la X = 0 și X = 4. Dacă introduceți fiecare dintre aceste valori în ecuația inițială, veți obține:

0² - 4 (0) = 0, deci X = 0 a fost un zero sau o rădăcină valabilă pentru acest polinom.

4² - 4 (4) = 0, deci X = 4 este de asemenea un zero sau o rădăcină valabilă pentru acest polinom. Și pentru că polinomul era de gradul 2, știi că poți înceta să cauți după găsirea a două rădăcini.