Distanța euclidiană este distanța dintre două puncte din spațiul euclidian. Spațiul euclidian a fost inițial conceput de matematicianul grec Euclid în jurul anului 300 î.C. pentru a studia relațiile dintre unghiuri și distanțe. Acest sistem de geometrie este încă folosit astăzi și este cel pe care liceenii îl studiază cel mai des. Geometria euclidiană se aplică în mod specific spațiilor cu două și trei dimensiuni. Cu toate acestea, poate fi ușor generalizat la dimensiuni mai mari de ordine.
Calculați distanța euclidiană pentru o dimensiune. Distanța dintre două puncte dintr-o singură dimensiune este pur și simplu valoarea absolută a diferenței dintre coordonatele lor. Din punct de vedere matematic, acest lucru este arătat ca | p1 - q1 | unde p1 este prima coordonată a primului punct și q1 este prima coordonată a celui de-al doilea punct. Folosim valoarea absolută a acestei diferențe, deoarece distanța este în mod normal considerată a avea doar o valoare non-negativă.
Ia două puncte P și Q într-un spațiu euclidian în două dimensiuni. Vom descrie P cu coordonatele (p1, p2) și Q cu coordonatele (q1, q2). Construiți acum un segment de linie cu punctele finale ale lui P și Q. Acest segment de linie va forma hipotenuză a unui triunghi drept. Extinzând rezultatele obținute la Pasul 1, observăm că lungimile picioarelor acestui triunghi sunt date de | p1 - q1 | și | p2 - q2 |. Distanța dintre cele două puncte va fi dată ca lungimea hipotenuzei.
Folosiți teorema lui Pitagore pentru a determina lungimea hipotenuzei din Pasul 2. Această teoremă afirmă că c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 unde c este lungimea unui triunghi dreptunghi ipotenuză și a, b sunt lungimile celuilalt doua picioare. Acest lucru ne oferă c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Distanța dintre 2 puncte P = (p1, p2) și Q = (q1, q2) în spațiul bidimensional este așadar ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Extindeți rezultatele pasului 3 la spațiul tridimensional. Distanța dintre punctele P = (p1, p2, p3) și Q = (q1, q2, q3) poate fi dată ca ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalizați soluția din Pasul 4 pentru distanța dintre două puncte P = (p1, p2, ..., pn) și Q = (q1, q2, ..., qn) în n dimensiuni. Această soluție generală poate fi dată ca ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).