Conţinut
În matematică apare uneori nevoia de a demonstra dacă funcțiile sunt dependente sau independente unele de altele într-un sens liniar. Dacă aveți două funcții care sunt liniare, graficul ecuațiilor acestor funcții are ca rezultat puncte care se suprapun. Funcțiile cu ecuații independente nu se suprapun atunci când sunt graphed. O metodă de a determina dacă funcțiile sunt dependente sau independente este de a calcula Wronskian pentru funcții.
Ce este un Wronskian?
Wronskianul a două sau mai multe funcții este ceea ce este cunoscut drept determinant, care este o funcție specială folosită pentru a compara obiecte matematice și pentru a dovedi anumite fapte despre acestea. În cazul Wronskianului, determinantul este folosit pentru a dovedi dependența sau independența între două sau mai multe funcții liniare.
Matricea Wronskiană
Pentru a calcula Wronskian pentru funcții liniare, funcțiile trebuie rezolvate pentru aceeași valoare într-o matrice care conține atât funcțiile, cât și derivatele lor. Un exemplu în acest sens este W (f, g) (t) = | ff((TT)) gg((TT)) |, care furnizează Wronskian pentru două funcții (f și g) care sunt rezolvate pentru o singură valoare care este mai mare decât zero (t); puteți vedea cele două funcții f (t) și g (t) în rândul de sus al matricei, iar derivatele f (t) și g (t) în rândul de jos. Rețineți că Wronskianul poate fi utilizat și pentru seturi mai mari. Dacă de exemplu, testezi trei funcții cu un Wronskian, atunci poți popula o matrice cu funcțiile și derivatele lui f (t), g (t) și h (t).
Rezolvarea Wronskianului
După ce aveți funcțiile aranjate într-o matrice, multiplicați fiecare funcție împotriva derivatului celeilalte funcții și scădeți prima valoare din a doua. Pentru exemplul de mai sus, acest lucru vă oferă W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Dacă răspunsul final este egal cu zero, acest lucru arată că cele două funcții sunt dependente. Dacă răspunsul este altceva decât zero, funcțiile sunt independente.
Exemplu wronskian
Pentru a vă oferi o idee mai bună despre cum funcționează, presupuneți că f (t) = x + 3 și g (t) = x - 2. Folosind o valoare de t = 1, puteți rezolva funcțiile ca f (1) = 4 și g (1) = -1. Întrucât acestea sunt funcții liniare de bază cu o pantă de 1, derivatele ambelor f (t) și g (t) sunt egale 1. Înmulțirea încrucișată a valorilor dvs. dă W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), care oferă un rezultat final de 5. Deși funcțiile liniare ambele au aceeași pantă, ele sunt independente deoarece punctele lor nu se suprapun. Dacă f (t) ar fi produs un rezultat -1 în loc de 4, Wronskianul ar fi dat un rezultat de zero în loc să indice dependență.