Cum se calculează suma unei serii geometrice

Conţinut

• Găsirea celui de-al șaptelea element într-o serie geometrică
• Calcularea sumei unei secvențe geometrice

În matematică, o secvență este orice șir de numere aranjate în ordine crescătoare sau descrescătoare. O secvență devine o secvență geometrică atunci când puteți obține fiecare număr prin înmulțirea numărului anterior cu un factor comun. De exemplu, seria 1, 2, 4, 8, 16. . . este o secvență geometrică cu factorul comun 2. Dacă înmulțiți orice număr din serie cu 2, veți obține următorul număr. În schimb, secvența 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . nu este geometric deoarece nu există un factor comun între numere. O secvență geometrică poate avea un factor comun fracționat, caz în care fiecare număr succesiv este mai mic decât cel precedent. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . este un exemplu. Factorul său comun este 1/2.

Faptul că o secvență geometrică are un factor comun vă permite să faceți două lucruri. Primul este să calculăm orice element aleatoriu din secvență (pe care matematicienii le place să numească elementul „al șaptelea”), iar al doilea este să găsești suma secvenței geometrice până la al șaptelea element. Când însumiți secvența punând un semn plus între fiecare pereche de termeni, transformați secvența într-o serie geometrică.

Găsirea celui de-al șaptelea element într-o serie geometrică

În general, puteți reprezenta orice serie geometrică în felul următor:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ . . .

unde „a” este primul termen din serie și „r” este factorul comun. Pentru a verifica acest lucru, ia în considerare seria în care a = 1 și r = 2. Obțineți 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . functioneaza!

După ce a stabilit acest lucru, acum este posibil să obținem o formulă pentru al nouălea termen din secvență (x_n).

X_n = ar^(N-1)

Exponentul este n - 1 mai degrabă decât n pentru a permite scrierea primului termen din secvență ca ar⁰, care este egal cu „a”.

Verificați acest lucru calculând al patrulea termen din seria de exemple.

X₄ = (1) • 2³ = 8.

Calcularea sumei unei secvențe geometrice

Dacă doriți să însumi o secvență divergentă, care este una cu o rație comună mai mare de 1 sau mai puțin de -1, puteți face acest lucru numai până la un număr finit de termeni. Este posibil să se calculeze suma unei secvențe convergente infinite, care este una cu un raport comun între 1 și -1.

Pentru a dezvolta formula sumei geometrice, începeți să luați în considerare ce faceți. Căutați totalitatea următoarelor serii de completări:

a + ar + ar² + ar³ +. . . Ar^(N-1)

Fiecare termen din serie este ar^k, și k merge de la 0 la n-1. Formula pentru suma seriei utilizează semnul sigma majusculă - ∑ - ceea ce înseamnă să adăugați toți termenii de la (k = 0) la (k = n - 1).

Σar^k = a

Pentru a verifica acest lucru, ia în considerare suma primilor 4 termeni ai seriei geometrice începând de la 1 și având un factor comun de 2. În formula de mai sus, a = 1, r = 2 și n = 4. Conectarea acestor valori, obține:

1 • = 15

Acest lucru este ușor de verificat adăugând singur numerele din serie. De fapt, atunci când aveți nevoie de suma unei serii geometrice, este de obicei mai ușor să adăugați singur numerele atunci când există doar câțiva termeni. Dacă seria are un număr mare de termeni, totuși, este mult mai ușor de utilizat formula sumei geometrice.