Legile mișcării pendulului

Conţinut

• TL; DR (Prea lung; nu a citit)
• Simplu mișcare armonică
• Legile unui pendul simplu
• Derivarea simplă a pendulului
• Factorii care afectează mișcarea pendulului
• Lungimea exemplului de pendul
• Definiția simplă a pendulului
• Legile Newton în Pendule

Pendulele au proprietăți interesante pe care fizicienii le folosesc pentru a descrie alte obiecte. De exemplu, orbita planetară urmărește un model similar și balansarea pe un set de leagăn poate simți că ești pe un pendul. Aceste proprietăți provin dintr-o serie de legi care guvernează mișcarea pendulului. Învățând aceste legi, puteți începe să înțelegeți câteva dintre principiile de bază ale fizicii și ale mișcării în general.

TL; DR (Prea lung; nu a citit)

Mișcarea unui pendul poate fi descrisă folosind θ (t) = θ_maxcos (2πt / T) in care θ reprezintă unghiul dintre șir și linia verticală din centru, T reprezintă timpul și T este perioada, timpul necesar pentru a se produce un ciclu complet al mișcării pendulelor (măsurat cu 1 / f), a mișcării pentru un pendul.

Simplu mișcare armonică

Mișcare armonică simplă, sau mișcare care descrie cum o viteză a obiectelor oscilează proporțional cu cantitatea de deplasare din echilibru, poate fi utilizată pentru a descrie ecuația unui pendul. O pendulare cu pendulare este menținută în mișcare de această forță care acționează asupra ei în timp ce se deplasează înainte și înapoi.

••• Syed Hussain Ather

Legile care guvernează mișcarea pendulului au dus la descoperirea unei proprietăți importante. Fizicienii despart forțele într-o componentă verticală și orizontală. În mișcare de pendul, trei forțe lucrează direct la pendul: masa bobului, gravitația și tensiunea din coardă. Masa și gravitația funcționează vertical în jos. Deoarece pendulul nu se mișcă în sus sau în jos, componenta verticală a tensiunii de șnur anulează masa și gravitația.

Acest lucru arată că masa unui pendul nu are nici o relevanță pentru mișcarea sa, dar tensiunea orizontală a șirului. Mișcarea armonică simplă este similară cu mișcarea circulară. Puteți descrie un obiect care se mișcă pe o cale circulară, așa cum se arată în figura de mai sus, determinând unghiul și raza pe care o ia în traseul circular corespunzător. Apoi, folosind trigonometria triunghiului drept între centrul cercurilor, poziția obiectelor și deplasarea în ambele direcții x și y, puteți găsi ecuații x = rsin (θ) și y = rcos (θ).

Ecuația unidimensională a unui obiect în mișcare armonică simplă este dată de x = r cos (ωt). Puteți înlocui în continuare A pentru r in care A este amplitudine, deplasarea maximă din poziția inițială a obiectelor.

Viteza unghiulară ω cu privire la timp T pentru aceste unghiuri θ este dat de θ = ωt. Dacă înlocuiți ecuația care raportează viteza unghiulară la frecvență f, ω = 2πf_, vă puteți imagina această mișcare circulară, ca parte a unui pendul care se balansează înainte și înapoi, atunci ecuația de mișcare armonică simplă rezultată este _x = A cos (2πft).

Legile unui pendul simplu

••• Syed Hussain Ather

Pendule, precum masele de pe un izvor, sunt exemple de Oscilatoare armonice simple: Există o forță de restaurare care crește în funcție de cât de deplasat este pendulul și mișcarea lor poate fi descrisă folosind ecuație armonică simplă a oscilatorului θ (t) = θ_maxcos (2πt / T) in care θ reprezintă unghiul dintre șir și linia verticală din centru, T reprezintă timpul și T este perioadă, timpul necesar pentru a se produce un ciclu complet al mișcării pendulelor (măsurat cu 1 / f), a mișcării pentru un pendul.

θ_max este o altă modalitate de a defini maximul unghiul oscilează în timpul mișcării pendulelor și este un alt mod de definire a amplitudinii pendulelor. Acest pas este explicat mai jos în secțiunea „Definiție simplă a pendulului”.

O altă implicație a legilor unui pendul simplu este că perioada de oscilație cu lungimea constantă este independentă de dimensiunea, forma, masa și materialul obiectului de la capătul șirului. Acest lucru se arată clar prin derivarea simplă a pendulului și ecuațiile care rezultă.

Derivarea simplă a pendulului

Puteți determina ecuația pentru a simplu pendul, definiția care depinde de un simplu oscilator armonic, dintr-o serie de pași care încep cu ecuația de mișcare pentru un pendul. Deoarece forța de greutate a unui pendul este egală cu forța mișcării pendulelor, puteți să le setați egale unul cu celălalt folosind a doua lege Newtons cu o masă de pendul M, lungimea șirului L, unghi θ, acceleratie gravitationala g și intervalul de timp T.

••• Syed Hussain Ather

Ați stabilit a doua lege a lui Newtons egală cu momentul inerției I = mr²pentru o masă și raza mișcării circulare (lungimea șirului în acest caz) r ori accelerația unghiulară α.

Există și alte modalități de a realiza o derivare simplă a pendulului. Înțelegeți sensul din spatele fiecărui pas pentru a vedea cum se leagă. Puteți descrie o mișcare simplă a pendulului folosind aceste teorii, dar ar trebui să luați în considerare și alți factori care pot afecta teoria simplă a pendulului.

Factorii care afectează mișcarea pendulului

Dacă comparați rezultatul acestei derivări θ (t) = θ_maxcos (t (L / g)²) la ecuația unui oscilator armonic simplu (_θ (t) = θ_maxcos (2πt / T)) b_y setându-le egale una cu cealaltă, puteți deriva o ecuație pentru perioada T.

Observați că această ecuație T = 2π (L / g)^-1/2 nu depinde de masă M a pendulului, amplitudinea θ_max, nici la timp T. Asta înseamnă că perioada este independentă de masă, amplitudine și timp, dar, în schimb, se bazează pe lungimea șirului. Vă oferă un mod concis de a exprima mișcarea pendulului.

Lungimea exemplului de pendul

Cu ecuația pentru o perioadă T = 2π (L / g) __^-1/2, puteți rearanja ecuația pentru a obține L = (T / 2_π)² / g_ și înlocuiește 1 sec pentru T și 9,8 m / s² pentru g a obtine L = 0,0025 m. Rețineți că aceste ecuații ale teoriei pendulului simplu presupun că lungimea șirului este fără frecare și fără masă. Pentru a ține cont de acești factori ar fi nevoie de ecuații mai complicate.

Definiția simplă a pendulului

Puteți trage unghiul din spate al pendulului θ să-l lase să se învârtă înainte și înapoi pentru a-l vedea să oscileze la fel cum ar fi un izvor. Pentru un pendul simplu îl puteți descrie folosind ecuațiile de mișcare ale unui oscilator armonic simplu. Ecuația mișcării funcționează bine pentru valori mai mici ale unghiului și amplitudine, unghiul maxim, deoarece modelul de pendul simplu se bazează pe aproximarea care sin (θ) ≈ θ pentru un unghi de pendul θ. Deoarece unghiurile și amplitudinile valorilor devin mai mari de aproximativ 20 de grade, această aproximare nu funcționează de asemenea.

Încearcă-l pentru tine. Un pendul care se leagănă cu un unghi inițial mare θ nu va oscila la fel de regulat pentru a vă permite să utilizați un oscilator armonic simplu pentru a-l descrie. La un unghi inițial mai mic θ, pendulul se apropie de o mișcare regulată, oscilatorie, mult mai ușor. Deoarece masa unui pendul nu are nicio influență asupra mișcării sale, fizicienii au dovedit că toate pendulele au aceeași perioadă pentru unghiurile de oscilație - unghiul dintre centrul pendulului în punctul său cel mai înalt și centrul pendulului în poziția oprită - mai puțin peste 20 de grade.

Pentru toate scopurile practice ale unui pendul în mișcare, pendulul se va decelera și va opri din cauza frecării dintre sfoară și punctul său de fixare de mai sus, precum și din cauza rezistenței aerului dintre pendul și aerul din jurul său.

Pentru exemple practice de mișcare a pendulului, perioada și viteza ar depinde de tipul de material utilizat care ar provoca aceste exemple de frecare și rezistență la aer. Dacă efectuați calcule pe un comportament oscilator teoretic al pendulului fără a ține cont de aceste forțe, atunci acesta va contabiliza un pendul care oscilează la infinit.

Legile Newton în Pendule

Prima lege a lui Newton definește viteza obiectelor ca răspuns la forțe. Legea prevede că dacă un obiect se mișcă cu o viteză specifică și într-o linie dreaptă, acesta va continua să se miște cu acea viteză și într-o linie dreaptă, la infinit, atât timp cât nici o altă forță nu acționează asupra sa. Imaginați-vă că aruncați o minge în față - mingea ar merge în jurul pământului de-a lungul timpului dacă rezistența aerului și gravitația nu ar acționa asupra ei. Această lege arată că, din moment ce un pendul se mișcă una în alta și nu în sus și în jos, nu are forțe în sus și în jos care acționează asupra sa.

A doua lege Newton este utilizată pentru a determina forța netă pe pendul prin stabilirea forței gravitaționale egală cu forța șirului care se trage înapoi pe pendul. Setarea acestor ecuații egale una cu cealaltă vă permite să derivați ecuațiile de mișcare pentru pendul.

A treia lege a lui Newton prevede că fiecare acțiune are o reacție de forță egală. Această lege funcționează cu prima lege care arată că, deși masa și gravitația anulează componenta verticală a vectorului de tensiune a șirului, nimic nu anulează componenta orizontală. Această lege arată că forțele care acționează asupra unui pendul se pot anula reciproc.

Fizicienii folosesc Newton, prima, a doua și a treia legi pentru a demonstra că tensiunea orizontală a șirului mișcă pendulul fără a ține cont de masă sau gravitație. Legile unui pendul simplu urmează ideile lui Newton trei legi ale mișcării.