Dacă ar fi să iei un pătrat și să desenezi două linii în diagonală, acestea se vor încrucișa în centru și ar forma patru triunghiuri drepte. Cele două diagonale se încrucișează la 90 de grade. S-ar putea să intuiți intuitiv că două diagonale ale unui cub, fiecare alergând de la un colț al cubului la colțul opus și traversând în centru, ar traversa, de asemenea, în unghi drept. Ai greși. Determinarea unghiului în care două diagonale dintr-un cub se încrucișează este ușor mai complicată decât ar putea apărea la prima vedere, dar face o practică excelentă pentru înțelegerea principiilor geometriei și trigonometriei.
Definiți lungimea unei muchii ca o unitate. Prin definiție, fiecare margine de pe cub are o lungime identică a unei unități.
Utilizați teorema lui Pitagore pentru a determina lungimea unei diagonale care se execută de la un colț, până la colțul opus de pe aceeași față. Numiți aceasta „diagonală scurtă”, din motive de claritate. Fiecare parte a triunghiului format drept este o unitate, deci diagonala trebuie să fie egală cu √2.
Folosiți teorema lui Pitagore pentru a determina lungimea unei diagonale care se execută de la un colț la colțul opus al feței opuse. Numiți-o „diagonală lungă”. Aveți un triunghi drept cu o parte egală cu 1 unitate și o parte egală cu o „diagonală scurtă”, √2 unități. Pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor laturilor, deci ipotenuză trebuie să fie √3. Fiecare diagonală care rulează de la un colț al cubului la colțul opus are √3 unități lungime.
Desenați un dreptunghi pentru a reprezenta două diagonale lungi care se încrucișează în centrul cubului. Vrei să găsești unghiul intersecției lor. Acest dreptunghi va avea 1 unitate înălțime și √2 unități lățime. Diagonalele lungi se intersectează în centrul acestui dreptunghi și formează două tipuri diferite de triunghi. Unul dintre aceste triunghiuri are o latură egală cu o unitate și celelalte două părți egale cu √3 / 2 (o jumătate din lungimea unei diagonale lungi). Cealaltă are, de asemenea, două laturi egale cu √3 / 2, dar cealaltă parte este egală cu √2. Trebuie doar să analizați unul dintre triunghiuri, deci luați primul și rezolvați pentru unghiul necunoscut.
Utilizați formula trigonometrică c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C pentru a rezolva unghiul necunoscut al acestui triunghi. C = 1, și ambele a și b sunt egale cu √3 / 2. Conectând aceste valori la ecuație, veți determina că cosinele unghiului dvs. necunoscut este 1/3. Luând cosinusul invers de 1/3 dă un unghi de 70,5 grade.